Що таке співзвуччя?

У попередній замітці ми з'ясували, як працює звук. Давайте повторимо цю формулу:

ЗВУК = ОСНОВНИЙ ТОН + УСІ КІЛЬКІ ОВЕРТОНИ

Крім того, як японці милуються вишнею, так і ми будемо милуватися графіком АЧХ – амплітудно-частотною характеристикою звуку (рис. 1):

Пам’ятайте, що горизонтальна вісь представляє висоту (частоту коливань), а вертикальна вісь – гучність (амплітуду).

Кожна вертикальна лінія є гармонікою, першу гармоніку зазвичай називають основною. Гармоніки розташовані так: друга гармоніка в 2 рази вище основного тону, третя — на три, четверта — на чотири і т.д.

Для стислості замість «частота nгармоніки» ми просто скажемо «nгармоніка», а замість «основна частота» – «частота звуку».

Отже, дивлячись на АЧХ, нам не важко буде відповісти на питання, що таке консонанс.

Як рахувати до нескінченності?

Консонанс буквально означає «співзвучання», спільне звучання. Як можуть звучати два різні звуки разом?

Намалюємо їх на одній діаграмі один під одним (рис. 2):

Ось відповідь: деякі з гармонік можуть збігатися за частотою. Логічно припустити, що чим більше співпадаючих частот, тим більше «спільних» звуків, а отже, тим більше співзвуччя в звучанні такого інтервалу. Якщо бути абсолютно точним, важливо не просто кількість гармонік, що збігаються, а те, яка частка всіх гармонік, що звучать, співпадає, тобто відношення кількості гармонік до загальної кількості гармонік, що звучать.

Отримуємо найпростішу формулу для обчислення співзвуччя:

де N_совп – кількість узгоджених гармонік,  N_{загальний} – загальна кількість звучних гармонік (кількість різних частот звучання), а мінуси і є нашим бажаним співзвуччям. Щоб бути математично коректним, краще назвати кількість міра частотного співзвуччя.

Ну, справа за малим: треба порахувати N_совп и N_{загальний}, розділіть одне на інше та отримайте бажаний результат.

Єдина проблема полягає в тому, що і загальна кількість гармонік, і навіть кількість узгоджених гармонік нескінченна.

Що станеться, якщо поділити нескінченність на нескінченність?

Змінимо масштаб попередньої діаграми, «відійдемо» від неї (рис. 3)

Ми бачимо, що відповідні гармоніки виникають знову і знову. Картина повторюється (рис. 4).

Це повторення нам допоможе.

Нам достатньо обчислити відношення (1) в одному з пунктирних прямокутників (наприклад, у першому), тоді за рахунок повторів і на всій лінії це відношення залишиться незмінним.

Для простоти частоту основного тону першого (нижнього) звуку вважатимемо рівною одиниці, а частоту основного тону другого звуку запишемо нескоротним дробом.  .

Зауважимо в дужках, що в музичних системах, як правило, використовуються саме звуки, співвідношення частот яких виражається деякою дробом.  . Наприклад, інтервал квінти є відношенням  , кварти –  , тритон —   і т.п.

Обчислимо відношення (1) всередині першого прямокутника (рис. 4).

Підрахувати кількість узгоджених гармонік досить легко. Формально їх два, один відноситься до нижнього звуку, другий – до верхнього, на рис. 4 вони позначені червоним кольором. Але обидві ці гармоніки звучать на одній частоті, відповідно, якщо порахувати кількість збігаються частот, то така частота буде тільки одна.

Яка загальна кількість звукових частот?

Посперечаємося так.

Усі гармоніки нижнього звуку розташовуються цілими числами (1, 2, 3 і т. д.). Як тільки будь-яка гармоніка верхнього звуку є цілим числом, вона збігатиметься з однією з гармонік нижнього. Усі гармоніки верхнього звуку кратні основному тону , тому частота n-а гармоніка буде дорівнювати:

тобто це буде ціле число (оскільки m є цілим числом). Це означає, що верхній звук у прямокутнику має гармоніки від першого (основного тону) до n- О, отже, звук n частоти.

Оскільки всі гармоніки нижнього звуку розташовані в цілих числах, то згідно (3) перший збіг відбувається на частоті m, виходить, що нижній звук всередині прямокутника дасть m частоти звучання.

Слід зазначити, що співпадає частота m ми знову рахували двічі: коли рахували частоти верхнього звуку і коли рахували частоти нижнього звуку. Але насправді частота одна, і для правильної відповіді нам потрібно буде відняти одну «зайву» частоту.

Сума всіх звукових частот всередині прямокутника буде:

Підставляючи (2) і (4) у формулу (1), отримуємо простий вираз для обчислення співзвуччя:

Щоб підкреслити, співзвучність яких звуків ми обчислили, можна вказати ці звуки в дужках мінуси:

За допомогою такої простої формули можна обчислити співзвучність будь-якого інтервалу.

А тепер розглянемо деякі властивості частотного консонансу та приклади його обчислення.

Властивості та приклади

Спочатку обчислимо співзвуччя для найпростіших інтервалів і переконаємося, що формула (6) «працює».

Який інтервал є найпростішим?

Однозначно прима. Дві ноти звучать в унісон. На діаграмі це буде виглядати так:

Ми бачимо, що абсолютно всі частоти звучання збігаються. Отже, співзвучність повинна дорівнювати:

Тепер підставимо співвідношення для унісону  у формулу (6) отримуємо:

Розрахунок збігається з «інтуїтивною» відповіддю, чого і слід було очікувати.

Візьмемо інший приклад, в якому інтуїтивна відповідь так само очевидна, – октаву.

В октаві верхній звук в 2 рази вище нижнього (за частотою основного тону), відповідно на графіку це буде виглядати так:

З графіка видно, що кожна друга гармоніка збігається, і інтуїтивно зрозуміла відповідь: консонанс становить 50%.

Розрахуємо його за формулою (6):

І знову розраховане значення дорівнює «інтуїтивному».

Якщо взяти ноту за нижній звук до і побудуйте значення консонансу для всіх інтервалів у межах октави на графіку (прості інтервали), отримуємо таку картину:

Найвищі розміри співзвуччя в октаві, квінті та кварті. Історично вони називали «ідеальні» співзвуччя. Мала і велика терції, а також мала і велика сікста трохи нижче, ці інтервали вважаються «недосконалими» співзвуччями. Решта інтервалів мають менший ступінь співзвуччя, традиційно відносяться до групи дисонансів.

Тепер перерахуємо деякі властивості міри частотного консонансу, які випливають із формули для її розрахунку:

1. Чим складніше співвідношення  (більше число m и n), чим менше приголосних інтервал.

И m и n у формулі (6) знаходяться в знаменнику, тому зі збільшенням цих чисел міра співзвуччя зменшується.

2. Висхідний співзвучність інтервалу дорівнює низхідному співзвуччю інтервалу.

Щоб отримати інтервал спаду замість інтервалу зростання, нам знадобиться співвідношення   обмін m и n. Але у формулі (6) від такої заміни абсолютно нічого не зміниться.

3. Міра частотного співзвуччя інтервалу не залежить від того, з якої ноти ми його будуємо.

Якщо зсунути обидві ноти на однаковий інтервал вгору або вниз (наприклад, побудувати квінту не з ноти до, але з прим ре), то співвідношення  між нотами не зміниться, а отже, міра частотного співзвуччя залишиться незмінною.

Ми могли б дати інші властивості співзвуччя, але поки обмежимося цими.

Фізика і лірика

Малюнок 7 дає нам уявлення про те, як працює консонанс. Але чи справді так ми сприймаємо співзвуччя інтервалів? Чи є люди, яким не подобаються ідеальні співзвуччя, але самі дисонансні гармонії здаються приємними?

Так, такі люди точно є. І щоб це пояснити, слід розрізняти два поняття: фізичне співзвуччя и сприйняте співзвуччя.

Все, що ми розглянули в цій статті, має відношення до фізичного співзвуччя. Щоб обчислити його, вам потрібно знати, як працює звук і як складаються різні вібрації. Фізичне співзвуччя створює передумови для сприйнятого співзвуччя, але не визначає його на 100%.

Відчутне співзвуччя визначається дуже просто. У людини запитують, чи подобається йому це співзвуччя. Якщо так, то для нього це співзвуччя; якщо ні, то це дисонанс. Якщо йому дати для порівняння два інтервали, то можна сказати, що один з них здасться людині в даний момент більш співзвучним, інший - менш.

Чи можна обчислити відчуту консонанс? Навіть якщо припустити, що це можливо, то цей розрахунок буде катастрофічно складним, він включатиме ще одну нескінченність – нескінченність людини: її досвіду, слухових характеристик і здібностей мозку. З цією нескінченністю не так легко впоратися.

Однак дослідження в цій області тривають. Зокрема, композитор Іван Сошинський, який люб’язно надає аудіоматеріали до цих нот, розробив програму, за допомогою якої можна побудувати індивідуальну карту сприйняття співзвуччя для кожної людини. Наразі розвивається сайт mu-theory.info, де кожен охочий може пройти тестування та дізнатися особливості свого слуху.

І все ж, якщо сприйняте співзвуччя є, і воно відрізняється від фізичного, який сенс обчислювати останнє? Ми можемо переформулювати це питання в більш конструктивний спосіб: як співвідносяться ці два поняття?

Дослідження показують, що кореляція між середнім сприйманим співзвуччям і фізичним співзвучністю становить близько 80%. Це означає, що кожна людина може мати свої індивідуальні особливості, але фізика звуку робить переважний внесок у визначення співзвуччя.

Звісно, ​​наукові дослідження в цій галузі ще на самому початку. А в якості звукової структури ми взяли відносно просту модель множинних гармонік, а розрахунок консонансу використовувався найпростіший – частотний, і не враховував особливості діяльності мозку при обробці звукового сигналу. Але той факт, що навіть у рамках таких спрощень було отримано дуже високий ступінь кореляції між теорією та експериментом, є дуже обнадійливим і стимулює подальші дослідження.

Застосування наукового методу в галузі музичної гармонії не обмежується обчисленням співзвуччя, воно також дає більш цікаві результати.

Наприклад, за допомогою наукового методу музичну гармонію можна зобразити графічно, візуалізувати. Про те, як це зробити, ми поговоримо наступного разу.

Автор – Роман Олейников